INTRODUZIONE: L'eredità della cultura classica, e segnatamente della grande speculazione razionale sviluppata nel mondo ellenico, è fondamentale per la comprensione dell'evoluzione storica della matematica. Nel presente lavoro ci occuperemo di alcuni aspetti caratteristici della matematica antica che hanno influenzato in termini significativi l'algebra moderna.
Un tentativo di determinazione della data di nascita per la matematica sarebbe impresa delicata, così come difficile se non impossibile sarebbe collocare cronologicamente gli esordi di ogni forma di riflessione razionale, di espressione (per tentare una simile collocazione sarebbe inoltre indispensabile definire con chiarezza gli ambiti entro i quali individuare la matematica vera e propria, definizione tutt'altro che semplice). Possiamo tuttavia affermare che la matematica "come disciplina organizzata e indipendente non esisteva prima dell'entrata in scena dei Greci del periodo classico, compreso fra il 600 ed il 300 a.C." (Kline, I, 1991, p. 7). Ciò appare chiaro particolarmente se consideriamo il significato più elevato del termine matematica, come impianto teorico formalizzato ed autonomo (1).
Con l'irrefrenabile tensione verso l'astratto, propria del mondo filosofico-matematico ellenico, la matematica da semplice strumento divenne fine autonomo e primario, disciplina indipendente del pensiero umano. L'attività dei matematici attraverserà quindi tutta la storia della cultura, in tutte le regioni, in tutti i continenti: l'uomo sarà, nella sua forma più alta di espressione, pensiero; il pensiero diventerà subito astrazione; e l'astrazione, matematica.
Nel presente lavoro ci occuperemo di una classe di problemi che, in tradizioni culturali ed in periodi storici diversi, ebbero un interesse rilevante: i problemi algebrici di secondo grado.
Premettiamo che lo stesso uso del termine algebra riferito a periodi storici precedenti la feconda stagione della matematica araba dovrebbe essere prudente. Fu infatti Mohammed Ibn Musa Al Kuwarizmi (VIII secolo), la cui opera più significativa è Al jabr wal mukabalah, a dare origine al termine algebra (da Al jabr); nel lavoro ricordato il matematico persiano sviluppò una chiara teoria delle equazioni, particolarmente di quelle di secondo grado (sembra però che il procedimento generale per la soluzione delle equazioni di secondo grado sia da considerare di derivazione indiana: D'Amore & Matteuzzi, 1976, pp. 90-91).
Tuttavia la presenza di procedimenti che possiamo definire algebrici è riscontrabile anche ben prima dell' VIII secolo; R. Franci e L. Toti Rigatelli così descrivono le prime manifestazioni dell'algebra: " Dal punto di vista dei concetti, le origini dell'algebra si possono far risalire a tre fonti diverse: alla matematica siriaco-babilonese, alla matematica indiana, alla matematica greca ed in particolare all'opera di Diofanto (III secolo d.C.). La recente interpretazione (prima metà del XX secolo) di O. Neugebauer di tavolette di terracotta scritte in caratteri cuneiformi ci permette di affermare che, già verso il 2000 a.C., i Babilonesi erano in grado di risolvere equazioni particolari di secondo e terzo grado ed avevano conoscenza di procedimenti che oggi chiamiamo algebrici " (Franci & Toti Rigatelli, 1979, p. 8).

Il titolo del presente paragrafo è volutamente provocatorio: sarebbe infatti azzardato affermare senza ulteriori precisazioni che una forma sufficientemente progredita di algebra nacque tra il Tigri e l'Eufrate (Bourbaki, 1963), almeno se consideriamo la necessità di un'efficace espressione simbolica delle tecniche algebriche (2). Tuttavia i Babilonesi erano in grado, come vedremo, di risolvere equazioni di grado anche superiore al primo e sistemi di equazioni di primo grado in due incognite.
Presso i Babilonesi non troviamo uno studio sistematico e generale delle equazioni né alcuna giustificazione esplicita dei metodi applicati: si procedeva dunque esaminando i singoli casi, e solo raramente, nella risoluzione di equazioni, i Babilonesi si mostrarono in grado di cogliere legami concettuali ed analogie significative tra i problemi introdotti e risolti.
Frequenti erano gli esempi di impiego di equazioni di secondo grado per la risoluzione di problemi di vario tipo (Smith, 1959; Franci & Toti Rigatelli, 1979, pp. 28-29; Bottazzini, Freguglia & Toti Rigatelli, 1992, p. 161); in particolare, venivano spesso considerate questioni come quella di "determinare due numeri conoscendone la somma s ed il prodotto p" con l'equazione (modernamente scritta): --->